ニュートン法によるフラクタル(2) ～根による塗り分け～
前回、以下の方程式のニュートン・フラクタルを見ましたが、この方程式は一体何を意味しているのでしょうか。
z3 - 1 = 0
以下のように変形するとすぐ分りますね。
3乗すると 1 になる z 、すなわち 1 の立方根を求める方程式です。
z3 = 1
複素数の場合、この方程式の解、つまり 1 の立方根は、カルダノの公式というものから、以下の3つが計算によって求められるということです。
1 + 0i
-0.5 + ((√3) / 2)i
-0.5 - ((√3) / 2)i
ここで、前回のニュートン・フラクタルを↓に再掲します。
ニュートン法によるフラクタル(1) – wonderfl build flash online
鎖状の線で分割された領域の中が、同心円状に塗り分けられていますね。
この同心円の中心部が、それぞれ上に書いた立方根に該当するんだそうです。
これは複素平面の全座標に対して漸化式を施して、その収束度合で色分けしたものでした。
この収束度合に加えて、収束した値が、それぞれの立方根のどれに一番近いか、という点を加味すると、↓に示したように3色に塗り分けることができます。
ニュートン法によるフラクタル(2) ～根による塗り分け～ – wonderfl build flash online
いやぁこれまたビックリな美しい図像ですねぇ。
参考サイト
参考記事
- ニュートン法によるフラクタル(1)
- ニュートン法によるフラクタル(3) ～3乗以外の冪乗～
- ニュートン法によるフラクタル(4) ～3乗以外の冪乗で根による塗り分け～
- ニュートン法によるフラクタル(5) ～漸化式を一般化～
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