マンデルの涙
「数理科学美術館
「マンデルの涙」という名称は、その「数理科学美術館」に出ていたものですが、いろいろググってみたところ、英語でも Mandeldrop と呼ばれているようです。どんな形状のフラクタルかというとコレ↓
マンデルの涙 – wonderfl build flash online
Nova Fractal(2) ～Julia Type～
前回、いまいち得体の知れない Nova Fractal というものについて見てみました。
その漸化式は Newton Fractal の漸化式を基にしながら、z の初期値が複素座標値という変動値ではなく、1 + 0i という固定値を使う、マンデルブロ集合と同様な累積計算をおこなうものでした。
では本来の Newton Fractal 同様 z の初期値を複素座標値にし、また、c の値をジュリア集合同様ユーザによる恣意的な変動値として累積計算した場合、どのような形状を描くのか、というのが冒頭のものです。
本来なら複素数 c についてもスライダーで任意の値に変えられるようにするべきなんですが、スライダーは複素数 R で使っており、改造がけっこうたいへんになるので、ボタンでプリセット値を変更するだけにしました（手抜き）。
Nova Fractal (Julia Type) – wonderfl build flash online
Nova Fractal(1) ～Mandelbrot Type～
今回は、資料が少なくて、いまいち判然としない Nova Fractal というフラクタルについて。
Nova Fractal (Mandelbrot Type) – wonderfl build flash online
Wikipedia の当該ページ、nova fractals、nova fractal cloudy、Ultra Fractal: Manual、Nova Fractals などの記述を総合すると、Nova Fractal は Paul Derbyshire という人によって発見された Newton Fractal の系列に属するフラクタルとのことです。
Paul Derbyshire というのはどういう経歴の人なのかは、検索してもそれらしい情報に行き当たりませんでした。またなぜ Nova という名前なのかということも分かりませんでした。
Nova Fractal の漸化式は以下のとおりです。
zn+1 = zn - R * f(zn) / f'(zn) + c
Barnsly Sierpinski Triangle
以前 Barnsly のフラクタルというものを見ました。Barnsly というのは、そのフラクタル群の式を考案した学者の名前でマンデルブロ型3種類、ジュリア型3種類のフラクタルがありました。
今回見るのもその Barnsly によるフラクタルで、シェルピンスキーの三角形を漸化式で描くものです。オリジナルのシェルピンスキーの三角形は正三角形ですが、このフラクタルは直角二等辺三角形に近い形状になります。それがコレ↓
Barnsly Sierpinski Triangle – wonderfl build flash online
Burning Ship Julia
バーニングシップ・フラクタル – wonderfl build flash online
上のものはかつて見た Mandelbrot 集合の1亜種である Burning Ship Fractal です。
その漸化式は以下のようなものでした。
Rl[zn] = |Rl[zn]|
Im[zn] = |Im[zn]|
zn+1 = zn^2 + c
見てのとおり Mandelbrot 集合の漸化式にほんの一手間、式を反復する前に z の実数部、虚数部をともに絶対値に置き換えるという処理を加えたもの。
たったそれだけで桃みたいな Mandelbrot 集合の形状が、巨大戦艦のような形状に変形する。数の神秘というか宇宙の神秘というか、この世を律する法則の深遠さに触れるフラクタルでした。
ちなみにこれの Multibrot バージョンはあまり面白い像を結びません（Symmetry in the Burning Ship to higher powers 参照）。