Nova Fractal(1) ～Mandelbrot Type～
今回は、資料が少なくて、いまいち判然としない Nova Fractal というフラクタルについて。
Nova Fractal (Mandelbrot Type) – wonderfl build flash online
Wikipedia の当該ページ、nova fractals、nova fractal cloudy、Ultra Fractal: Manual、Nova Fractals などの記述を総合すると、Nova Fractal は Paul Derbyshire という人によって発見された Newton Fractal の系列に属するフラクタルとのことです。
Paul Derbyshire というのはどういう経歴の人なのかは、検索してもそれらしい情報に行き当たりませんでした。またなぜ Nova という名前なのかということも分かりませんでした。
Nova Fractal の漸化式は以下のとおりです。
zn+1 = zn - R * f(zn) / f'(zn) + c
以前見ましたが Newton Fractal の漸化式は以下のようなものでした。
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
そして最も基本的な Newton Fractal である z3 – 1 = 0 の漸化式は以下のようなものでした。
zn+1 = zn - (zn3 - 1) / (3 * zn2)
これを Nova Fractal の漸化式に適用すると以下のようになります。
zn+1 = zn - R * (zn3 - 1) / (3 * zn2) + c
つまり Nova Fractal の漸化式は Newton Fractal の漸化式に R の乗算と c の加算を付加したものです。
R は定数で relax もしくは relaxation と説明されています。Google 翻訳で URL ごと翻訳したら「緩和定数」と表示されました。
この定数 R の取り得る値は、複素数の元とのことですが、基本的には R = 1 であるようです。R の値を変えるとフラクタルの形状が歪みます。
c は複素座標値です。マンデルブロ集合の漸化式における c と同じですね。
ここで注意点。
Newton Fractal では、z の開始値は複素座標値でした。つまりジュリア集合と同じような累積計算になるわけですが、Nova Fractal は c が複素座標値になることからマンデルブロ集合的な累積計算をすることが分かります。そしてマンデルブロ集合では 0 + 0i が z の初期値でしたが、Nova Fractal では 1 + 0i が z の初期値です。
なお、この Nova Fractal の漸化式、「+ c」がないものならば、かつて Newton Fractal について学習したとき、最後で少し触れてました。
参考記事
- ニュートン法によるフラクタル(1)
- ニュートン法によるフラクタル(2) ～根による塗り分け～
- ニュートン法によるフラクタル(3) ～3乗以外の冪乗～
- ニュートン法によるフラクタル(4) ～3乗以外の冪乗で根による塗り分け～
- ニュートン法によるフラクタル(5) ～漸化式を一般化～
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