反転(1)
これから書き連ねていくことは大ポカありまくりの可能性大。間違いを発見したときは生暖かい気持ちで指摘してくださると幸いです。理系なのに数学知らずで申し訳ない。
とりあえず2次元平面では、対称ってのは「線対称」と「回転対称」の2種類に分類できるって考えてればいいのかなー初学者としては。
そして、回転対称の中でも180度で同じ図形に戻るものを特に点対称と呼ぶ、と。
また、線対称に目を向けてみると、対称軸が直線の場合と曲線の場合が考えられるってことで良いのかな。
対称軸が直線の場合が算数レベルで習う、いわゆる線対称。そして対称軸が円の場合は「反転」と呼ぶ。そんな感じ？
で、その反転ですが、どういう計算式になるんかいな、というと、前回お示しした「ハイプレイン -のりとはさみでつくる双曲平面-
対称軸となる円の中心点 O の座標を (x0, y0)、その円の半径を r、与えられた点 P の座標を (x, y)、求める点 P’ の座標を (x’, y’) とした場合、点 P’ の座標は以下の計算で求まるとのこと。
x' - x0 = r^2 * (x - x0) / ((x - x0)^2 + (y - y0)^2);
y' - y0 = r^2 * (y - y0) / ((x - x0)^2 + (y - y0)^2);
仮に対称軸となる円の中心を原点 (0, 0) に置いたとしたら、以下のようになりますね。
x' = r^2 * x / (x^2 + y^2);
y' = r^2 * y / (x^2 + y^2);
いやあ、なかなか単純な式で表現できますなー。
で、この反転というもの、「平面図形の幾何学
- O を通る直線を、それ自身に写す
- O を通らない直線を、O を通る円に写す
- O を通る円を、O を通らない直線に写す
- O を通らない円を、O を通らない円に写す
2 と 3 は与えられた図形と求められた図形が逆転しているだけで、言っていることは同じですな。
1 と 4 は何か
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