Gumowski-Mira Attractor パターン A

2011 / 03 / 15 by
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今回は Clliford Attractor や Peter de Jong Attractor とは見栄えがガラッと変わります。
「グモウスキーとミラの写像」と呼ばれるストレンジ・アトラクターです。
まぁ、とりあえずどんなものかを見ていただきましょうか。何とも美しいアトラクターじゃないですか。

Gumowski-Mira Attractor – wonderfl build flash online

The strange beauty of the Gumowski-Mira Attractor によると、このアトラクターは 1980 年に欧州原子核研究機構(CERN)の I. グモウスキーと C. ミラの二人が、サブ原子の粒子の軌跡計算のために開発した計算式とのことです。

その漸化式は「Scalaで描く力学系の世界」に掲載されているスライドの25枚目によると、以下のようになります。


xn+1 = yn + a * (1 - b * yn * yn) * yn + f(xn);
yn+1 = -xn + f(xn+1);
f(x) = m * x + (2 * (1 - m) * x^2) / (1 + x^2);

今まで見てきたストレンジ・アトラクターの漸化式と違い、X座標とY座標を独立に計算しません。
まずX座標を計算し、その値を元にY座標が計算されるという仕組み。そしてその漸化式の内部には別途に関数 f(x) が組み込まれています。
パラメータとしてX座標を決める際に使用される a、b と、関数 f(x) 内で使用される m の3つがあります。
上の式で私は m と表記しましたが、一般的には μ です。

そして、参照先のスライドでは a = 0.008、b = 0.05 に固定するとありますが、私は b は 0.05 に固定しましたが、a は変動するようにしました。
なぜかというと、小さな差が大きな違いに変化するというカオスの性質から考えると、b は変数にしてもカオスな振る舞いが感じられませんでした。一方 a はそれなりにカオスな感じだったので、スライダーで 0.001 ~ 0.015 まで変化させています。ちなみにパラメータ m の範囲は -0.9 ~ 0.9。

いやもーヤバいっす。m = -0.9 のときの天使の羽根のような形状の美しさには惚れ惚れしちゃいますよー。襲来する使徒って感じ?
ところで天使の羽根と書きましたが、森永エンゼルパイのトレードマークに出てくるような、肩胛骨のあたりに羽を生やした人間の恰好したのじゃないですよ。
熾天使(セラフ、セラフィム)智天使(ケルブ、ケルビム)といった異形の天使像です。
ちなみに天使は9つの階級があって、格が上になるほどこんな人間離れした形状になっているらしい。熾天使は最上位、智天使は第二位。なお第三位の座天使(ソロネ、スローンズ)は「車輪」の恰好をしてるらしい。人に羽の生えた形状のいわゆる「天使」は最下位の第9階級とのこと。

この本では MS Excel で「グモウスキーとミラの写像で描く」という章があるらしい。

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