線対称と点対称
数学の「反転」を勉強中。
「反転」という数学用語は、どうも複数の概念を指すようですが、私が学んでいるのは、ウィキペディアの当該項目の第2番目、円に対する写像の「反転」です。ちなみに対象は2次元の話。
ウィキペディアには以下のように書いてあります。
中心がOで半径がrの円があり、Oを含む直線上に2点P,P’があり、OP*OP’=r2 であるとき、PをP’に写す操作をこの円に関する反転という。同様に球面や超球面に関する反転も定義できる。
文章だけだとイメージしづらいので、図入りのページ「反転とその応用」の一番最初の説明も併せてどうぞ。
で、この反転というのは「ハイプレイン -のりとはさみでつくる双曲平面-
とりあえずここで対称について再確認しときますかね。
対称といえば、線対称と点対称ですよね。
それぞれウィキペディアの当該項目では以下のように書いてあります。
- 線対称
- ある直線を軸として図形を反転させると自らと重なり合う対称性である。その直線を対称軸という。
- 点対称
- 点対称な図形は、対称点（対称中心）を中心とした反転に対し不変である。
- 2次元の点対称は2回対称である。つまり、対称点を中心とした180°の回転に対し不変である。
ウィキペディアの線対称についての説明は分かりやすいので、これ以上は触れる必要はないですよね。ちなみに線対称の図入り説明は「定直線に関して対称な点（線対称）」をご覧ください。
で、点対称の方。何かいまいち意味が汲みとれない文章ですが、ある1点を基準にして180度回転させたとき、元の図形なり点なりと一致する場合、点対称というとのこと。
回転角度はあくまでも180度なんだそうです。だから正方形や長方形、円、楕円なんかは点対称ですが、三角形や五角形なんかは点対称にならないんだそうです（たとえば「点対称な図形」参照）。
わたくし今の今まで点対称について勘違いしてました。
ある一定角度で回転させたときに同一なら点対称なんだと思ってました。
だからヒトデやウニやナマコなんかの棘皮動物（五角形）も点対称だとばかり…… この年になって算数の覚え間違いが発覚するとは！
さらに調べると、棘皮動物の五角形で対称のような180度でない回転で同一になるのは、回転対称というらしい（ウィキペディアの「対称性」の項参照）。
その昔 wonderfl に graphics.drawGraphicsData のための回転対称による美的表現というタイトルの作品を投稿したけど、迂闊な名前つけなくてよかった。
graphics.drawGraphicsData のための回転対称による美的表現 – wonderfl build flash online
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