ニュートン法によるフラクタル(1)
ニュートン法というものがあるらしい。
数値計算を反復して方程式の解を求る方法だとか。
その方程式を f(x) = 0 とするとき、ニュートン法では以下の漸化式が導かれるそうです。
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
f'(x) というのは f(x) の導関数というもので、微分方程式で出てくるもののもよう。
x0 に適当な値をとって、漸化式を実行すると x に収束することが多いとのこと。
まぁ細かいことは Wikipedia の「ニュートン法」あたりを参照してください。
ところで、マンデルブロ集合にしてもジュリア集合にしても、複素平面における各座標値の漸化式における発散度合で色を塗り分けていました。
そして、このニュートン法による漸化式と複素数との組み合わせも、かなり面白いフラクタル画像を描きます。英語では newton fractal と呼ぶようです。例えばこんなの↓
ニュートン法によるフラクタル(1) – wonderfl build flash online
↑は次の方程式によるフラクタルです。
z3 - 1 = 0
この方程式をニュートン法で漸化式にすると、以下のようになるそうです。
zn+1 = zn - (zn3 - 1) / (3 * zn2)
この漸化式の、発散ではなく収束の度合でもって塗り分けると何とビックリ。↑のように、平面の中心を基準として、領域を鎖で三分割したような、奇妙な図を描きます。
参考記事
- ニュートン法によるフラクタル(2) ～根による塗り分け～
- ニュートン法によるフラクタル(3) ～3乗以外の冪乗～
- ニュートン法によるフラクタル(4) ～3乗以外の冪乗で根による塗り分け～
- ニュートン法によるフラクタル(5) ～漸化式を一般化～
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