ファレイ数列
「ファレイ数列」なる数列があるらしい。
0～1 の間を n 等分する値、つまり1を n 等分する値を分数で表した数値の集まりとのこと。
例えば1を2等分する値は 1/2 ですね。
両端の0と1はそれぞれ 0/1、1/1 と表し、先の 1/2 と合わせて小さい順に並べた (0/1, 1/2, 1/1) を「2に対応するファレイ数列」と呼び F2 と表すそうです。
2 に対応するファレイ数列
F2 = (0/1, 1/2, 1/1)
「n に対応するファレイ数列」の n を何と呼ぶのか、調べても出てこなかったんですが、ここでは「基数」と呼びたいと思います。
では基数3のファレイ数列、F3 はどのような値の集合になるのか。
1を3等分する値ですから 1/3、2/3 のふたつですね。そして両端の 0/1、1/1。
すると (0/1, 1/3, 2/3, 1/1) となりますが、基数3のファレイ数列はこれで全部じゃありません。
ファレイ数列というのは、基数を n としたとき、n 以下の分母を持つ 0～1 間のすべての分数を合わせたものなんだそうです。
ということは、基数3のファレイ数列は、1/3、2/3 に加え、分母が2となる分数、つまり F2 と、まだ見ぬ F1 の値をも含んだものになるということ。
では F1 ってどんな値だ、と考えると、1を1等分するというのは 0～1 の間に何の値も発生しないということなので、基数1のファレイ数列 F1 は両端の値のみの (0/1、1/1) になるわけです。
1 に対応するファレイ数列
F1 = (0/1, 1/1)
以上を踏まえて F2 をもう一度考えてみると、F1 の要素である 0/1 と 1/1 そして基数が2となって初めて出てきた 1/2 の三つを合わせたのが F2 だということですね。
それを理解したうえで F3 を考えると、両端の 0/1、1/1、2等分する値 1/2 、3等分する値 1/3、2/3 の計5要素が正しいということになるわけです。
3 に対応するファレイ数列
F3 = (0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1)
まぁ階乗計算 n! みたいなもんですかねー。
じゃあ次、F4 はどうなるのか。
4等分する値は 1/4、2/4、3/4 、3等分する値は 1/3、2/3、2等分する値は 1/2 、そして両端は 0/1、1/1 です。じゃあこの8要素を小さい順に並べたものが基数4のファレイ数列かというと、ちょっと注意が必要です。
4等分する値で出てくる 2/4 と、2等分する値 1/2 は同じ値です。このような公約数ちっくな値はダブらせずにどれかひとつだけを残します。もうこれ以上約分できないという形式を残すのが普通なので、ここでは 2/4 を取り除いた7要素が基数4のファレイ数列になります。
4 に対応するファレイ数列
F4 = (0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1)
ところでこのファレイ数列、なかなかエレガントな性質を持っています。
あるファレイ数列の隣り合った要素を a/b、c/d としたとき、 a/b と c/d の間に、次に出てくる分数値（これを中間値と呼びます）は、どの基数のファレイ数列で出てくるのか、そしてその値は何なのか、というのが簡単に分かります。
基数 (b + d) のファレイ数列で出てくる (a + c) / (b + d) がその値になります。
例えば、F3 の 0/1 と 1/3 の中間値は (0 + 1) / (1 + 3) = 1/4 です。
上の基数4のファレイ数列の全要素を見てみると、そうなっていますね。
じゃ、F3 の 1/3 と 1/2 の中間値はいくつか。計算では (1 + 1) / (3 + 2) = 2/5 となります。
基数5のファレイ数列で出てくる 2/5 となりました。じゃあ実際に F5 を見てみましょう。
5 に対応するファレイ数列
F5 = (0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1)
1/3 と 1/2 の間に 2/5 が挟まっているので、正しいことが分かります。
ファレイ数列は、計算式的に見てエレガントな概念だってことは分りましたが、でも数字がつらつら並んでても面白くも楽しくもないわけですよハッキリ言って。
そんなわけでファレイ数列を図形的に表現する「フォードの円」なるものを次に見てみたいと思います。
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