ニュートン法によるフラクタル(2) ～根による塗り分け～
前回、以下の方程式のニュートン・フラクタルを見ましたが、この方程式は一体何を意味しているのでしょうか。
z3 - 1 = 0
以下のように変形するとすぐ分りますね。
3乗すると 1 になる z 、すなわち 1 の立方根を求める方程式です。
z3 = 1
複素数の場合、この方程式の解、つまり 1 の立方根は、カルダノの公式というものから、以下の3つが計算によって求められるということです。
1 + 0i
-0.5 + ((√3) / 2)i
-0.5 - ((√3) / 2)i
ニュートン法によるフラクタル(1)
ニュートン法というものがあるらしい。
数値計算を反復して方程式の解を求る方法だとか。
その方程式を f(x) = 0 とするとき、ニュートン法では以下の漸化式が導かれるそうです。
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
f'(x) というのは f(x) の導関数というもので、微分方程式で出てくるもののもよう。
x0 に適当な値をとって、漸化式を実行すると x に収束することが多いとのこと。
まぁ細かいことは Wikipedia の「ニュートン法」あたりを参照してください。
ところで、マンデルブロ集合にしてもジュリア集合にしても、複素平面における各座標値の漸化式における発散度合で色を塗り分けていました。
そして、このニュートン法による漸化式と複素数との組み合わせも、かなり面白いフラクタル画像を描きます。英語では newton fractal と呼ぶようです。例えばこんなの↓
ニュートン法によるフラクタル(1) – wonderfl build flash online
Hénon Map
前回はドイツ人によるアトラクタである Rössler Attractor を見ましたが、今回はフランス人による写像である Hénon Map を見てみます。
Hénon Map – wonderfl build flash online
Rössler Attractor
Rössler という綴りの2番目の文字はただの o じゃなくて、ドイツ語のウムラウト付き ö 。なので読み方は「レスラー・アトラクタ」になるわけですね。
ドイツはテュービンゲン大学の生化学者 Otto Rössler という人が導き出した方程式によるアトラクタで、その方程式というのは、科学反応中の振動や対流を表す方程式を簡単にしたものだそうです。
Rössler attractor – wonderfl build flash online
Lorenz Attractor
すべてのカオス研究はここから始まった！
今回はそんなローレンツ・アトラクタについて、今さらながら見てみました。