反転(1)
これから書き連ねていくことは大ポカありまくりの可能性大。間違いを発見したときは生暖かい気持ちで指摘してくださると幸いです。理系なのに数学知らずで申し訳ない。
とりあえず2次元平面では、対称ってのは「線対称」と「回転対称」の2種類に分類できるって考えてればいいのかなー初学者としては。
そして、回転対称の中でも180度で同じ図形に戻るものを特に点対称と呼ぶ、と。
また、線対称に目を向けてみると、対称軸が直線の場合と曲線の場合が考えられるってことで良いのかな。
対称軸が直線の場合が算数レベルで習う、いわゆる線対称。そして対称軸が円の場合は「反転」と呼ぶ。そんな感じ？
線対称と点対称
数学の「反転」を勉強中。
「反転」という数学用語は、どうも複数の概念を指すようですが、私が学んでいるのは、ウィキペディアの当該項目の第2番目、円に対する写像の「反転」です。ちなみに対象は2次元の話。
ウィキペディアには以下のように書いてあります。
中心がOで半径がrの円があり、Oを含む直線上に2点P,P’があり、OP*OP’=r2 であるとき、PをP’に写す操作をこの円に関する反転という。同様に球面や超球面に関する反転も定義できる。
文章だけだとイメージしづらいので、図入りのページ「反転とその応用」の一番最初の説明も併せてどうぞ。
で、この反転というのは「ハイプレイン -のりとはさみでつくる双曲平面-
とりあえずここで対称について再確認しときますかね。
畑政義写像(5) -複素数[3]-
「ゼロからわかる虚数・複素数
さて、ガウスによって市民権を得た複素数ですが、その後、複素数をさらにしっかりとしたものとするために、ハミルトンという数学者が以下のような再定義をしたんだそうです（上記書籍P152、153）。
二つの実数の組 (a, b) に対して、
加法を (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
乗法を (a, b) * (c, d) = (a * c – b * d, a * d + b * c)
のように定義してできる数の体系を複素数という。
この定義において (0, 1) を i とした場合、加法、乗法を解くと、(a, b) は a + bi と同じと見なすことができます。
では、このハミルトンの定義による演算をガウス平面で図示するとどうなるのか。
畑政義写像(4) -複素数[2]-
前回は、複素数の理解を得るために「ゼロからわかる虚数・複素数
負の数という概念は古くからあったが永いこと否定的に扱われていた、しかし数直線上に図示するようになってから人々の間に浸透していった、ということでした。
「虚数」も負の数と状況は同じで、2乗して負の数になる数値を設定しないと三次方程式の一般解が求められない、という状況の元でしかたなく発想された概念とのこと（上記書籍P92～）。
そして負の数が市民権を得たのと同様、ガウスという数学者が虚数を複素数として捉え直し、図示したことでその存在を肯定されるようになったんだそうです（上記書籍P100～）。
畑政義写像(3) -複素数[1]-
前回、畑政義写像は複素数の演算によって求められるものという話をしました。
複素数というと 4 + 2i や 3 – 5i のように、実数と虚数を綯い交ぜにした表記の値ですね。で i というのは2乗すると -1 になる虚数の基本単位。
ActionScript の数値型に虚数型や複素数型といったものは存在しません、ってゆーか、虚数型を持っているプログラミング言語というのはワタクシ寡聞にして知りません。
だったらこの複素数をプログラムで使うにはどうすりゃいいのさ。
なんてことを考えながら、前々回ご紹介した JAVA による畑政義写像のコードを覗いてみましたよ。
複素数を定義しているクラス（XComplex.java）を見ると、実数部と虚数部を別々に管理していることが分かりました。
また、複素数計算クラス（XMathC.java）が定義されており、複素数演算のやり方が分かりました。