ポコーニィ・フラクタル再び(2)
ポコーニィ・フラクタルはマンデルブロ集合およびジュリア集合の漸化式のちょっとした変形に過ぎない、ということを前回見ました。以下にその漸化式を再掲します。
z ← 1 / (z^2 + c)
マンデルブロ集合、ジュリア集合の考え方をそのまま使えるということは、ポコーニィ・フラクタルにおいてもマルチブロ、マルチジュリアが可能ってことですよね、以下の漸化式で。
z ← 1 / (z^n + c)
んなワケで試してみました。
ポコーニィ・フラクタル再び(1)
以前、ポコーニィ・フラクタルというものを wonderfl に投稿しました。
これは「コンピュータ・ワンダーランド―驚異と悦楽の電脳迷路
その後 "Creating Fractals
こりゃあいったいどうしたわけだ、と、試してみたところ、漸化式の計算において、前者はジュリア集合のやり方で、後者はマンデルブロ集合のやり方で、と、それぞれ異なるアプローチをとっていることが分りました。
てなワケでポコーニィのフラクタルについて再度、ちょっと考察してみます。
ニュートン法によるフラクタル(5) ～漸化式を一般化～
英語版 Wikipedia の newton fractal の記事によると、今まで見てきたニュートン法による漸化式は、実はまだ特殊なケースだったんだとか。
さらに一般化した漸化式は以下のとおり。
zn+1 = zn - a * (znm - 1) / (m * znm-1)
右辺の zn – の後ろに a * が加わりました。この a は複素数とのこと。
今まで見てきた漸化式は a = 1.0 + 0.0i に限定された特殊ケースだったんですね。
今回は a をいろいろ変えた場合、どのような図像になるのか、というのを見てみました。
計算量が一番少ない z3 – 1 の場合で、いろいろコードを組んでみたのが↓です。
ニュートン法によるフラクタル(5) ～漸化式の一般化～ – wonderfl build flash online
ニュートン法によるフラクタル(4) ～3乗以外の冪乗で根による塗り分け～
今回は前々回の「根による塗り分け」と、前回の「3乗以外の冪乗」、このふたつの複合技です。
色分けはRGB の組み合わせで簡単にすませたかったので、以下の4パターンをコード化してみました。
z3 - 1 = 0
z4 - 1 = 0
z5 - 1 = 0
z6 - 1 = 0
ニュートン法によるフラクタル(4) ～3乗以外の冪乗で根による塗り分け～ – wonderfl build flash online
ニュートン法によるフラクタル(3) ～3乗以外の冪乗～
ニュートン法によるフラクタル(3) ～3乗以外の冪乗～ – wonderfl build flash online
前々回、前回と以下の方程式および漸化式のニュートン・フラクタルを見ました。
方程式
z3 - 1 = 0
漸化式
zn+1 = zn - (zn3 - 1) / (3 * zn2)
これは何度も触れているように立方根の場合でしたが、この漸化式、以下のように一般化できるということです。
方程式
zm - 1 = 0
漸化式
zn+1 = zn - (znm - 1) / (m * znm-1)